segunda-feira, maio 31, 2010

Lançamento vertical

Ai vai a resolução de dois problemas que recebi do Alexandre por email...

1. Dois corpos são lançados verticalmente para cima do mesmo ponto com vel. iniciais de 30 m/s. O segundo corpo é lançado 3 s depois do primeiro (g = 10 m/s2). 
a)o instante e a posição do encontro? 
b) as velocidades dos corpos no instante do encontro.


Meu caro Alexandre, em qualquer problema de mecânica, tente equacionar o problema em termos de espaço por tempo, a chamada equação horária do movimento. Isso ajuda muito.


Para o primeiro corpo, sua velocidade inicial é 30 m/s e ele sofre a ação da gravidade. Então sua equação é:


s = s0 + v0.t - 1/2g.t2, vamos considerar s0 = 0, o que significa que nossa referência é o ponto de lançamento.


s = 30.t - 5t2


O segundo corpo possui uma equação praticamente idêntica, exceto que seu t é sempre t+3, já que foi lançado 3 segundos depois.


Então 


s = s0 + v0(t+3) - 5.(t+3)2, novamente considerando s0 = 0, temos:


s = 30.t + 3.(t + 3) - 5(t2 + 6.t + 9) (lembre-se (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ),


s = 30.t  + 3.t - 5.t2 - 30.t -45 + 90 


s = 30.t - 30.t + 3.t - 5.t2 - 45


s = -5.t2 - 45


Igualando as duas equações, temos:


-5t2 + 30.t = -5t2 - 45


30 t = 45 ; t = 1,5 s !


Neste ponto a velocidade será: v = v0 - at.


v = 30 - 10.(1,5)


v = 15 m/s


(para chegar nessa expressão tem um segredinho. O tempo t=3s não foi escolhido ao acaso, vc pode calcular que neste ponto o objeto está no ponto mais alto e com velocidade zero, então enquanto um acelera para baixo, o outro desacelera para cima.


Substituindo este t = 1,5 s, na expressão horária, temos:


s = 45 - 5(1,5)2 = 33,75 m

2. Dois corpos estão na mesma vertical, à distancia de 30 m um do outro. Abandona-se o de cima e, após, 2 s, o outro. Após, quanto tempo e em que ponto se dará o encontro dos dois? (g = 10 m/s2).


A equação horária do primeiro é 


s  = s0 + v0t + 1/2 . g . t2 mas vo = 0 e s0 = 0, então,


s = 5t2.


Quando o segundo corpo for lançado, o primeiro terá percorrido a distância de:


s = 5(2)2 = 20 m


E sua velocidade será:


v = a.t = 10 (2) = 20m/s.


Então podemos reescrever a equação horária do primeiro no momento do lançamento do segundo, assim:


s = s0 + v0t + 1/2 g t2 
s = 20 + 20.t + 5 t2


E a equação horária do segundo objeto fica:


s = 30 + 1/2 g .t2 = 30 + 5.t2


Igualando as duas distâncias,


20 + 5.t2 = 20 + 20.t + 5t2


     20.t = 10
  
     t=0,5 s


Lembre-se. Isto ocorrerá após os dois segundos em que o primeiro foi lançado. Então o tempo decorrido será de 2,5 s.


s = 30 + 5t2 = 30 + 5.(0.5)2


s = 31,25 m


Fiz com um pouco de pressa, posso ter errado alguma coisa, mas conferi varias vezes, se tiver alguma duvida posta ai.


E espero ter colocado ainda a tempo de ser útil...

Busquei ao SENHOR, e ele me respondeu; livrou-me de todos os meus temores. 
Salmos 34:4

14 comentários:

allify disse...

'''. Isto ocorrerá após os dois segundos em que o primeiro foi lançado. Então o tempo decorrido será de 2,5 s.'''

poww vei ..teva fazendo esse exercicio e minha resposta deu 0.5s ,mas achei q tava errado e apaguei,esqueci q ja tinha se passado 2s q o corpo tinha sido jogado e o tempo final era 2,5...

essa sua observação foi esclarecedora,,vlw...

Samuel disse...

É só número 'as vezes engana!

Gostei da parte do "vei..." Hehehe

Abraços e obrigado pelo comentário!

leonardo judoca disse...

Samuel, de onde veio aquele +90 na equação?
Obrigado

Samuel disse...

Olá Leonardo. De fato havia um errinho que corrigi na linha de cima.

A expressão horária é s=s0+vo.t+1/2a.t2, certo?

A parcela vo.t, temos 30.(t+3), já que o t é um tempo 3 segundos a frente. Então o 90 veio daí, 3.30. Faltou isso na linha de cima, tá corrigido agora. Tanta gente passou por este post e não viu este erro. Obrigado por me alertar. Abração.

E disse...

Bacana...

Heberson Caetano disse...

Samuel tem mais exercicios ae não ?
Precizo de 5 exercicios de lançamento vertical para cima e 5 para baixo e tudo isso pra hooj !
Me ajuda ae por favor !

Samuel disse...

Caro Heberson, infelizmente não terei tempo hoje de postar 5 exercicios para você. Mas já postei este: http://exerciciosfisica.blogspot.com.br/2009/08/lancamento-de-projetil-versao.html , este de queda livre: http://exerciciosfisica.blogspot.com.br/2007/03/easy-easy-like-sunday-morning.html , este http://exerciciosfisica.blogspot.com.br/2006/11/problema-de-lancamento-vertical-parte.html e este http://exerciciosfisica.blogspot.com.br/2006/11/problema-do-lanamento-vertical-parte-i.html Não deixe de ler os comentários pois tem informações uteis neles. Abração.

da Fonseca José disse...

Samuel, gostaria q me explicasse so algo, por favor!, se S=s.+v.t +1/2gt^2 e s.=0 porq q ak foi mas acrentado 't+3' S=30.'t+3' (t+3)-5(t^2 +6t+9).

Samuel disse...

Caro Fonseca, simplesmente porque estou considerando os 3s que já se passaram. A equação é a mesma, só que meu t é t+3. Só isso. Bons estudos e qualquer coisa, volte a comentar.

Osny disse...

Amigo, se o 2º móvel saiu com 3 segundos de atraso a equação n deveria ficar (t-3) ? pq seria o tempo total menos os 3 segundos de atraso dele para se encontrar com o 1º móvel.

Samuel disse...

Osny, Seu raciocinio está certo mas para o primeiro objeto, o segundo é lançado t+3s, certo?

pedrinhoedaniel disse...

O 45 ta menos e tem um 3t que eu não sei de onde surgiu e também e na linha de cima o t+3 ta em dobro não sei se isso e erro mas de todo jeito me ajudou muito

Criticando o 7 disse...

Desde quando 45+5(1,5)² = 33,75? Não entendi. Só do 45 ser maior, significa que não dá... (1,5)² = 2,25. 2,25 vezes 5 = 11,25. Logo, 45+11,25 não dá 33,75. Ou então eu estou no terceiro período de matemática sem saber fazer conta :x

Samuel disse...

Meu caro criticando o 7, alguma coisinha do seu terceiro periodo de matematica está valendo. A sua conta está correta e a minha também (HEHE). O que está errado (estava, já corrigi) era o sinal da equacao (45-5(1,5)...) e nao (45+5(1,5)...). Obrigado pelo toque.