Produto de vetores.

I - Encontre o Produto vetorial de AxB

Supondo que:

A = A_x i + A_y j + A_z k e
B = B_x i + B_y j + B_z k

O produto vetorial de A x B, será:

A x B = A_x i x B_x i + A_x i x B_y j + A_x i x B_z k + A_y j x B_x i + A_y j x B_y j + A_y j x B_z k +
+ A_z k x B_x i + A_z k x B_y j + A_z k x B_z k

Reagrupando:

A x B = A_x B_x i x i + A_x B_y i x j + A_x B_z i x k + A_y B_x j x i + A_y B_y j x j + A_y B_z j x k+
+ A_z B_x k x i + A_z B_y k x j + A_z B_z k x k

Sabendo que: i x j = k; j x i = -k; i x k = j; k x i = -j; j x k = i; k x j = -i e i x i = 0; j x j = 0 e k x k = 0, temos que:

A x B = (A_y B_z - A_zB_y) i + (A_zB_x - A_xB_z) j + (A_xB_y - A_yB_x) k (Expr.I)

II - Produto Escalar.

O produto escalar entre dois vetores A e B, representado por A.B, onde:

A = A_x i + A_y j + A_z k
B = B_x i + B_y j + B_z k

A.B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z (Expr. II)

(III) Mostre que A.(BxC) = (AxB).C

Pela Expressão I,

B x C = (B_yC_z - B_zC_y) i + (B_zC_x - B_xC_z) j + (B_xB_y - B_yC_x) k

A x B = (A_yB_z - A_zB_y) i + (A_zB_x - A_xB_z) j + (A_xB_y - A_yB_x) k

Pela Expressão II, temos:

A. (B x C) = A_x (B_yC_z - B_zC_y) + A_y(BzC_x - B_xC_z) + A_z(B_xC_y - B_yC_x)

e

C.(A x B) = C_x (A_yB_z - A_zB_y) + C_y (A_zB_x - A_xB_z) + C_z(AxB_y - A_yB_x)

Que distribuindo e reagrupando:

A.(B x C) = A_x B_y Cz - A_x B_y C_z + A_y B_z C_x - A_y B_x C_z + A_z B_x C_y - A_z B_y C_x

A.(B x C) = A_x B_y Cz - A_x B_y C_z + A_y B_z C_x - A_y B_x C_z + A_z B_x C_y - A_z B_y C_x

Tomara que nao tenha errado nenhum indice, nem vetor, mas é basicamente isso ai ...

Não te deixes vencer do mal, mas vence o mal com o bem. 
Romanos 12:21