Soma de Vetores (Ou algumas maneiras para não se resolver um problema).

Algumas vezes um problema relativamente simples, pode se apresentar complicado se for resolvido de maneira errada. Não que as considerações estejam erradas, mas uma escolha errada do método pode trazer problemas e tornar o problema que era relativamente simples em extremamente complicado. Vamos ao problema:

Dois vetores A e B tem mesmo módulo. Em que situação, o vetor soma A + B terá tambem módulo igual a A e B ?

(Maneira errada de resolver)

Supondo:

A = Ax i + Ay j + Cz k
B = Bx i + By j + Cz k

e

A+B = (Ax + Bx) i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k,

temos:

A = (Ax² + Ay² + Az²)^1/2
B = (Bx² + By² + Bz²)^1/2

e

A+B = [(Ax+Bx)² + (Ay+By)² + (Az+Bz)²]^1/2

E das condiçoes do problema:

A+B = A = B

Nenhuma consideração errada foi feita, mas temos muitas variáveis e pouca coisa fixa. Não podemos afirmar que Ax = Bx, o modulo dos vetores são iguais, mas seus componentes, não necessariamente. Se pudessemos eliminar tantas variaveis, as coisas ficariam mais simples. Fiquei neste problema dois dias (não direto, obviamente), tentando simplificar. Aí fiz as considerações abaixo e tudo saiu maravilhosamente rapido, então aí vai:

(Resolução simplificada).

Bom um plano é formado por dois vetores, certo ? Então vou considerar que A e B estão no mesmo plano e mais, que este plano é z = o (ou seja o plano i j). Qualquer par de vetores que não estejam neste plano podem ser levados pra lá por rotação do plano.

Outra consideração, vou considerar que A faz um ângulo a com o eixo x e que B faz um angulo b com o mesmo eixo, assim:

A = A.cos a i + A.sen a j
B = A.cos b i + A.sen b j

(Olha, como ficou melhor)

A = (A²cos² a + A²sen² a)^1/2
B = (A²cos² b + A²sen² b)^1/2

A + B = [(A²(cos a + cos b)² + A²(sen a + sen b)²]^1/2

A + B = A.[(cos a + cos b)² + (sen a + sen b)²]^1/2 = A

Então

[(cos a + cos b)² + (sen a + sen b)²]^1/2 = 1

Das propriedades trigonométricas:

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a - b)/2
sen a + sen b = 2 sen (a + b)/2 cos (a - b)/2

[(2 cos (a + b)/2 cos (a - b)/2)² + (2 sen (a + b)/2 cos (a - b)/2) )²]^1/2 = 1

4 [cos² (a - b)/2 (cos² (a + b)/2 + sen² (a + b)/2) ] = 1

4 [cos² (a - b)/2] = 1 --> cos (a - b)/2 = 1/2

cos (a-b)/2 = {[1+cos(a+b)]/2}^1/2 = 1/2

2+2.cos(a+b) = 1

cos(a+b) = -1/2

cos 120^o = -1/2, então:

a+b = 120^o

Então para que isso ocorra, a diferença a soma dos ângulos de A e B deve ser 120^o. Isso pode ser comprovado, criando dois vetores quaisquer A e B, de mesmo módulo, um a 5^o e outro a 125^o por exemplo.

A = A cos 5^o i + A sen 5^o j
B = A cos 125^o i + A sen 125^o j

A + B = A[(cos 5^o + cos 125^o)² + (sen 5^o + sen 125^o)²]^1/2

A + B = A[(0,996 -0,573)² + (0,08715 + 0,8192)²] ^1/2

A + B = A[(0,423)² + (0,90635)²]^1/2

A + B = A[0,1783 + 0,8215]^1/2

A + B = A[ 1 ]^1/2

A + B = A (Conforme Queriamos).

Acho que fiquei muito tempo neste problema, mas mesmo assim é um belo problema.