Soma de vetores

Quando dois vetores A e B são desenhados a partir de um ponto comum, o ângulo entre eles é θ. Mostrar que o módulo da soma vetorial é dado por:

(A² + B² + 2AB cos θ)^1/2

Supondo que B faz um angulo α com o eixo x e que o vetor A faz um angulo (θ + α). Como a soma é comutativa, não há problema nenhuma nesta ordem. Se optar por considerar o contrário, o resultado deve ser o mesmo.

Supomos ainda que:

A = x_ai + y_aj e A = | A | = (x_a² + y_a²)^1/2

B = x_bi + y_bj e B = | B | = (x_b² + y_b²)^1/2

O vetor soma (R de resultante) será:

R = x_ri + y_rj

o que desejamos encontrar é o módulo deste vetor:

R = | R | = (x_r² + y_r²)^1/2

Se o vetor B faz um ângulo α com o eixo x, temos então que:

x_b = B cos α
y_b = B sen α

Se o vetor A faz um ângulo θ com B e consequentemente α + θ com o eixo x, temos que:

x_a = A cos (α + θ)
y_a = A sen(α + θ)

E do vetor resultante, teremos:

x_r = x_a + x_b = A cos(α + θ) + B cos α
y_r = y_a + y_b = A sen(α + θ) + B sen α

O modulo, que desejamos encontrar é dado por:

R = (x_r² + y_r²)^1/2

R = [ (Acos(α + θ) + Bsen α)² + (A sen(α + θ) + B sen α)² ]^1/2

Lembrando que (x+y)² = x² + 2xy + y² (Quadrado do primeiro, duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo)

Temos então:

R = [ A²cos²(α + θ) + 2ABcos (α + θ) cos α +
+ B²cos² α + A²sen²(α + θ) + 2ABsen(α + θ) sen α +
+ B²sen² α ] ^1/2

Colocando em evidencia o que dá:

R = [ A²(cos²(α + θ) + sen²(α + θ)) +
+ B²(cos² α + sen² α) +
+ 2AB(cos(α + θ) cos α + sen(α + θ) sen α)] ^1/2

Das propriedades trigonométricas cos² a + sen² a = 1

Então:

R = [ A² + B² + 2AB(cos(α + θ) cos α + sen(α + θ) sen α)] ^1/2 (*)

Agora é só desenrolar essa parte final. Vamos trabalhar apenas com a parte dentro do parenteses:

(cos(α + θ) cos α + sen(α + θ) sen α),

Das propriedades trigonométricas: cos(a+b) = cos(a) cos(b) - sen(a)sen(b) (Coça a, coça b, troca o sinal sem sabê - Versinho de cursinho pra lembrar esta identidade) e
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(b)sen(a)

Então:

(cos α cos θ - sen α sen θ) cos α + (sen α cos θ + cos α sen θ) sen α =

= cos² α cos θ - sen α sen θ cos α+ sen² α cos θ + cos α sen θ sen α =

Reagrupando e colocando cos θ em evidencia do primeiro termo, temos:

cos θ (cos² α + sen² α) + cos α sen θ sen α - cos α sen θ sen α =
=

cos θ

Recolocando isso em (*), temos:

R = [ A² + B² + 2AB cos θ] ^1/2 Conforme queriamos mostrar.

Este é um exercício que me deixou muito feliz em revê-lo. Primeiro porque é um exercício que exige manipulação de vetores e trigonometria o que traz boas recordações matematicas, segundo porque consegui encontrar uma maneira de colocar as letras gregas (notou ?). Ainda está dando trabalho demais, mas tá valendo - Dormir mais tarde pra deixar o blog do dia seguinte pronto não faz tanto mal assim.

Não cuideis que vim destruir a lei ou os profetas: não vim ab-rogar, mas cumprir. 
Mateus 5:17